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Question

Bonjour je bloque complètement sur cet exo !
1. Les quadrilatères ABCD et BEFG sont des carrés de côtés respectifs a et b.
Démontrer que (AG) ⊥ (CE) .
2. Les quadrilatères ABCD et BEFG sont maintenant des rectangles de dimensions :
►  pour ABCD : longueur AB = L1 et largeur l1
►  pour BEFG : longueur EF = L2 et largeur l2
Déterminer une égalité liant L1, l1, L2, l2 équivalente à (AG) ⊥ (CE) . (On cherche donc une condition nécessaire et suffisante à l’orthogonalité des 2 droites)
Bonjour je bloque complètement sur cet exo ! 1. Les quadrilatères ABCD et BEFG sont des carrés de côtés respectifs a et b. Démontrer que (AG) ⊥ (CE) . 2. Les qu

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1 Réponse

  • Bonjour,

    on se donne un repère (A;i,j) avec i = k x AB, j = k x AD et ||i|| = ||j|| = 1

    Dans ce repère :

    A(0;0) B(a;0) C(a;a) D(0;a)

    E(a+b); 0) F(a+b;b) et G(a;b)

    Soit I = (AG)∩(CE)

    Produit scalaire AG.CE = ||AG|| x ||CE|| x cos(AIE)

    ||AG|| = √(a² + b²)

    ||CE|| = √[a² + b²]

    Or AG.CE = (AB + BG).(CB + BE)

    = AB.CB + AB.BE + BG.CB + BG.BE

    = 0 + ab - ab + 0  car ||AB|| = [[CB|| = a, ||BE|| = ||BG|| = b, (AB;BE) = 0 et (BG;CB) = π

    = 0

    Donc cos(AIE) = 0 ⇒ (AIE) = π/2 ⇒ (AI)⊥(IE) ⇔ (AG)⊥(CE)

    2) Même démarche avec : AB = L1 et EF = L2

    A(0;0) B(L1;0) C(L1;l1) D(0;l1)

    E(L1 + l2; 0) F(L1 + l2; L2) et G(L1;L2)

    AG.CE = √(L1² + L2²) x √(l1² + l2²) x cos(AIE)

    Or AG.CE = AB.CB + AB.BE + BG.CB + BG.BE

    = 0 + L1l2 - L2l1 + 0

    = L1l2 - L2l1

    Donc cos(AIE) = (L1l2 - L2l1)/[√(L1² + L2²) x √(l1² + l2²)]

    On veut cos(AIE) = cos(π/2) = 0

    Donc il faut : L1l2 - L2l1 = 0

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