Bonjour , pouvez vous pour mon devoir maison s'il vous plait merci .

Bonjour,

1)a) g(x) = x - 1 + ln(x) sur Dg = ]0;+∞[

g'(x) = 1 + 1/x = (x + 1)/x

⇒ sur Dg, g'(x) > 0 ⇒ g croissante

b) g(1) = 1 - 1 + ln(1) = 0

On en déduit :

x         0                              1                            +∞
g'(x)    ||
g(x)     ||     croissante       0      croissante
g(x)     ||       négative                  positive

2) a) f(x) = (x - 1)ln(x)/x

f'(x) = [(ln(x) + (x - 1)/x)x - (x - 1)ln(x)]/x²

= [xln(x) + x - 1 - xln(x) + ln(x)]/x²

= [ln(x) + x - 1]/x²

= g(x)/x²

b) ⇒ f' est du signe de g

x        0                        1                       +∞
g(x)                -            0          +
f'(x)                 -            0          +
f(x)          décrois.              croiss.

c) lim f(x) quand x → 0+ = lim - ln(x)/x = +∞ (croissances comparées)

et lim f(x) quand x → +∞ =

d) ci-dessus avec f(1) = 0