Je n'arrive pas à résoudre cet exercice, pouvez-vous m'aider s'il vous plait ? Je vous remercie d'avance.

Bonjour, la résolution que je te propose me paraît un peu compliquée pour du niveau 1ère ES, mais pour l'instant je ne vois pas d'autre moyen de le résoudre!
Nous avons
[tex]f(x)= \dfrac{3x+4}{x-2} \\ f'(x)= \dfrac{(3*(x-2)-(3x+4)*1)}{(x-2)^2} \\ = \dfrac{3x-3x-6-4}{(x-2)^2} \\ =\dfrac{-10}{(x-2)^2} [/tex]
Donc , au point d'abscisse a quelconque, l'équation de la tangeante est égale à
[tex]y=f'(a)*(x-a)+f(a) \\ soit \\ y= \frac{-10}{(a-2)^2} *(x-a)+ \frac{3a+4}{a-2} [/tex]

On nous parle de tangeantes passant par l'origine du repère. Il s'agit de celles qui passent par le point (0;0)
Ainsi, on cherche a tel que
[tex]0= \frac{-10}{(a-2)^2} *(0-a)+ \frac{3a+4}{a-2} \\ 0= \frac{10a}{(a-2)^2} +\frac{3a+4}{a-2} \\ 0= \frac{10a+(3a+4)(a-2)}{(a-2)^2} \\ 0=10a+3a^2-6a+4a-8 \\ 3a^2+8a-8=0[/tex]
Il s'agit d'une équation du second degré.
Calculons Delta
[tex]Delta=b^2-4ac=8^2-4*-8*3=64+96=160[/tex]
Delta est positif, il ya donc deux solutions dans IR.
Ainsi, nous pouvons répondre qu'il ya Deux tangeantes qui passent par l'origine!
Cordialement
RML