20 pts ..Bonjour , j'espère que vous allez bien. pouvez vous m'aider à faire cet exercice. Merci d'avance!

Bonjour,

1)
on pose d = x^y

⇒ x = dx' et y = dy' avec x' et y' premiers entre eux

Le système devient :

d = 9
dx'y' = 36

⇒ x'y' = 4 ⇒ x'=1 et y'=4 ou x'=4 et y'=1

soit x = 9 et y = 36
ou   x = 36 et y = 9

2) n² - n ≡ 3 [5]

n² - n = (n - 1)n ⇒ (n² - n) pair

On pose (n² - n) = 2p avec p∈N

⇒ 2p ≡ 3 [5]

...pas de solution je pense

3) 3n + 2 ≡ 0 [4]

⇔ 3n ≡ -2 [4]
⇔ 3n ≡ 2 [4]

⇒ 3n = 4k + 2 = 3(k + 1) + (k - 1)  k∈N

⇒ k - 1 divisible par 3
⇒ k = 3q + 1  q∈N
⇒ n = 4(3q + 1) + 2 = 12q + 6 = 6(2q + 1)

4)

Addition dans Z/7Z :

+   [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]
[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]
[1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0]
[2] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1]
[3]    ....              [0]
[4]   ....          [0]
[5]    ....    [0]
[6]  .... [0]


En faisant le tableau de la multiplication dans Z/7Z et en regardant la diagonale :

x² ≡ 0,1, 2 ou 4 [7]

et donc y² ≡ 0,1,2 ou 4 [7] également

⇒ la seule solution pour que x² + y² ≡ 0 est donc x² ≡ 0 ET y² ≡ 0 [7]

Donc x² + y² ≡ 0 [7] ⇔ x² ≡ 0 et y² ≡ 0 [7] ⇔ x ≡ 0 et y ≡ 0 [7]