Bonjour, je suis en classe de 1ère S et nous avons un DM sur l'application des dérivées. J'ai tout réussis dans cet exercice (partie 3), sauf que je n'arrive pa

Bonjour,

f(x) = (Sx - πx³)/2

⇒ f'(x) = (S - 3πx²)/2

= S[1 - (√(3π/S)x)²]/2    (on a factorisé S)

= S(1 - √(3π/S)x)(1 + √(3π/S)x)/2   

⇒ Sur [0;+∞[, f'(x) s'annule pour (1 - √(3π/S)x) = 0

soit pour x = 1/√(3π/S) = √(S/3π)

On en déduit :

h = (S - πx²)/2πx

= (S - πS/3π)/2π√(S/3π)

= (2S/3)/2π√(S/3π)

= 2√(S/3)²/2π√(S/3π)

= 2√(S/3)²/2π√(S/3)x√(1/π)

= √(S/3)/(π/√(π))

= √(S/3) x √(π)/π

= √(S/3) x 1/√(π)

= √(S/3π)

= x

Bonjour,
Soit la fonction f telle que: f(x)=(Sx-πx³)/2
Pour étudier f, nous allons calculer sa dérivée f' et en étudier le signe donc:
f'(x)=[(Sx-πx³)/2]'
f'(x)=(1/2)(S-3πx²)
Sachant que l'on parle de volume, nous allons étudier ce signe sur [0;+∞[:
f'(x)=0
(1/2)(S-3πx²)=0
S-3πx²=0
3πx²=S
x=√(S/3π)
On en déduit qu'il existe en ce point un extrémum de la fonction f.
f'(x)≥0
(1/2)(S-3πx²)≥0
x²≤S/3π
x≤√(S/3π) sur [0;+∞[
On déduit donc que f est croissante sur [0;√(S/3π)]
f'(x)≤0
(1/2)(S-3πx²)≤0
S≤3πx²
x≥√(S/3π) sur [0;+∞[
On déduit que f est décroissante sur [√(S/3π);+∞[
On remarque alors que la dérivée f' change de signe en passant du positif au négatif en x=√(S/3π) donc le point de cette abscisse est le maximum de f.