Pouvez vous m’aider à faire le 41 ? Merci d’avance

soit f(x) = (x + 1)(x + 4)

1) vérifier que pour tout réel x

a) f(x) = x² + 5 x + 4 

Il suffit de développer f(x) = (x + 1)(x + 4) = x² + 4 x + x + 4 = x² + 5 x + 4

b) f(x) = (x + 5/2)² - 9/4   forme canonique

 la forme canonique de f(x)  s'écrit : a(x - α)² + β

 α = - b/2a = - 5/2

 β = f(α) = f(- 5/2) = (- 5/2)² + 5(- 5/2) + 4 = 25/4 - 25/2 + 4

 ⇒ 25/14 - 50/4 + 16/4 = - 9/4

 f(x) = 1(x + 5/2)² - 9/4

 2) résoudre les inéquations

 a) f(x) < 0 ⇔ (x + 1)(x + 4) < 0 ⇒ x + 1 < 0 ⇒ x < - 1 et x + 4 > 0 ⇒ x > - 4

 Tableau de signe

 x         - ∞               - 4                - 1                  + ∞

x + 1             -                     -                    +                                            

x + 4             -                     +                    + 

f(x)               +                     -                     +

 l'ensemble des solutions de l'inéquation est S =]- 4  ; - 1[

 b) f(x) > x² - 1  ⇔ x² + 5 x + 4 > x² - 1 ⇔ 5 x + 5 > 0

 ⇒ 5(x + 1) > 0 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x > - 1

 solutions de l'inéquation est S = ]- 1 ; + ∞[

 c) f(x) > - 9/4 ⇔ (x + 5/2)² - 9/4 > - 9/4 ⇔ (x + 5/2)² > 0

 ⇒ x + 5/2 > 0 ⇒ x > - 5/2 

 L'ensemble des solutions de l'inéquation est S = ]- ∞ ; - 5/2[U]-5/2 ; + ∞[