Bonjour, je suis en 3e et j'ai un devoir maison de mathématique a faire pour lundi. Est ce quelqu'un pourrait m'aider? Merci d'avance

Bonjour :)

1. On peut placer le point R(1;0).
Ainsi, le triangle RGB est rectangle en R, et selon le théorème de Pythagore, comme BG=2 et RG = 1 :
[tex]RB = \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}[/tex].
Ainsi, comme le triangle OGB est équilatéral, il est aussi isocèle en B, d'où [tex]x_B = x_R = 1[/tex] et [tex]y_B = BR = \sqrt{3}[/tex].
Ainsi on a les coordonnées de B : [tex]B(1;\sqrt{3})[/tex].

2. Il suffit de dire que le triangle BGF est équilatéral. Cela est dû (comme pour OGB) au fait que l'hexagone soit régulier et de côté 2. Ainsi BGF est équilatéral et de côté 2. Ainsi on pourrait placer un autre point R' en (4;0), et du coup on retrouve le triangle GR'F qui est aussi équilatéral. Dans un triangle équilatéral, tous les angles font 60°. Donc [tex]\widehat{HGF} = \widehat{R'GF}[/tex] et mesure 60°.
Ainsi on retrouve les coordonnées de H : [tex]H(3;0)[/tex] et de F : [tex]F(3;\sqrt{3})[/tex].

3. Je te propose d'utiliser les plus simples (en vrai ils sont tous assez simples à retrouver, donc je te laisse choisir tes points) :
[tex]E(-1;\sqrt{3})[/tex] (pour la même raison que F)
[tex]C(2;2\sqrt{3})[/tex]
[tex]A(1;2\sqrt{3}+2+\sqrt{3}) = A(1;3\sqrt{3}+2)[/tex]
[tex]K(2;2\sqrt{3}+2+2\sqrt{3}) = K(2;4\sqrt{3}+2)[/tex].

4. En fait il n'y en aura qu'un seul, c'est à dire le point O(0;0). Tous les autres ont au moins une coordonnée irrationnelle (un multiple de [tex]\sqrt{3}[/tex] + un entier). C'est assez difficile à argumenter mais assez intuitif. Au final, à part O(0;0), tous les sommets des hexagones auront au moins une coordonnée irrationnelle donc pas un entier (un entier est rationnel).

Bonne journée ;) !