Svp je trouve de la difficulté à faire cette exo: ...Soit f une application affine définie par f(x)=2x-4 1) déterminer l’antécédent de 3 et

Bonjour :)

1) Les antécédents de 3 et -1 sont les nombres dont leur image par l'application est 3 et -1. Ainsi, il faut résoudre les équations :
[tex]f(x) = 3[/tex]
[tex]2x-4 = 3[/tex]
[tex]2x = 7[/tex]
[tex]x = \dfrac{7}{2}[/tex]

et

[tex]f(x) = -1[/tex]
[tex]2x-4 = -1[/tex]
[tex]2x = 3[/tex]
[tex]x = \dfrac{3}{2}[/tex].

2) L'antécédent de -2 est la solution à l'équation :
[tex]f(x) = -2[/tex]
[tex]2x-4 = -2[/tex]
[tex]2x = 2[/tex]
[tex]x = 1[/tex].

3) a) Je te laisse la tracer, tu dois avoir une droite qui coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée -4 et qui coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.

b) Les points (2;0) et (-3;1) appartiennent à D si et seulement si f(2) = 0 et f(-3) = 1 respectivement. Vérifions :
[tex]f(2) = 2*2-4 = 4-4 = 0[/tex] donc (2;0) appartient bien à D
[tex]f(-3) = 2*(-3)-4 = -6-4 = -10[/tex] donc (-3;1) n'appartient pas à D.

4) L'ordonnée du point de D d'abscisse -1 est l'image de -1 par f. Elle est égale à :
[tex]f(-1) = 2*(-1)-4 = -6[/tex].

5) Un peu plus compliqué. On veut que [tex]M \in D[/tex] donc que l'image de x par la fonction f soit égale à 5x-1. Il faut donc résoudre l'équation :
[tex]f(x) = 5x-1[/tex]
[tex]2x-4 = 5x-1[/tex]
[tex]2x = 5x+3[/tex]
[tex]0 = 3x+3[/tex]
[tex]3x = -3[/tex]
[tex]x = -1[/tex].

6) g est une application linéaire donc de la forme [tex]g(x) = ax[/tex]. Ainsi, on peut résoudre cette équation pour retrouver a le coefficient directeur de g :
[tex]a*3 = -6[/tex]
[tex]a = -2[/tex]
Ainsi l'application linéaire g telle que [tex]g(3)=-6[/tex] est :
[tex]g : x \mapsto -2x[/tex].

a) Je te laisse faire, il faut que tu traces une droite qui passe par l'origine et qui passe aussi par (par exemple) le point (1;-2).

b) On peut d'abord calculer l'abscisse de C, car c'est l'abscisse pour laquelle [tex]f(x)=g(x)[/tex] (puisque C appartient aux deux courbes). Ainsi il suffit de résoudre l'équation :
[tex]f(x)=g(x)[/tex]
[tex]2x-4 = -2x[/tex]
[tex]4x-4 = 0[/tex]
[tex]4x = 4[/tex]
[tex]x = 1[/tex].

On sait donc que l'abscisse de C est 1. Son ordonnée est donc l'image de 1 par les deux fonctions (c'est la même chose, puisque C est l'intersection de D et H) :
[tex]f(1) = 2*1-4 = -2[/tex]
[tex]g(1) = -2*1 = -2[/tex].

Ainsi C(1;-2) est le point d'intersection de F et H.