Pouvez-vous m'aider svp Une salle de spectacle dispose de 1356 places. Le directeur sait qu'il reçoit en moyenne 800 spectateurs lorsque le prix d'une place est
Mathématiques
Laulauryne
Question
Pouvez-vous m'aider svp
Une salle de spectacle dispose de 1356 places.
Le directeur sait qu'il reçoit en moyenne 800 spectateurs lorsque le prix d'une place est fixé à 25€.
Il a constaté que chaque réduction de 1€ sur le prix d'une place attire 50 spectateurs de plus.
On se propose d'aider le directeur à déterminer le prix d'une place lui assurant la meilleure recette.
1) Calculer le nombre de spectateurs et la recette lorsque le prix d'une place est fixé à 24€, puis 23€.
2) Modélisation :
Maëlle affirme : "on peut modéliser la recette réalisée pour un spectacle par la fonction f définie sur [0;+infini[ par f(x) = (25-x)(800+50x)"
A) Expliquer pourquoi Maëlle a raison, et préciser en particulier la signification de x.
B) Expliquer pourquoi cette fonction admet un maximun.
C) Résoudre l'équation f(x)=0
En déduire le nombre réel alfa en lequel f atteint son maximun, puis la valeur de ce maximun
Merci
Une salle de spectacle dispose de 1356 places.
Le directeur sait qu'il reçoit en moyenne 800 spectateurs lorsque le prix d'une place est fixé à 25€.
Il a constaté que chaque réduction de 1€ sur le prix d'une place attire 50 spectateurs de plus.
On se propose d'aider le directeur à déterminer le prix d'une place lui assurant la meilleure recette.
1) Calculer le nombre de spectateurs et la recette lorsque le prix d'une place est fixé à 24€, puis 23€.
2) Modélisation :
Maëlle affirme : "on peut modéliser la recette réalisée pour un spectacle par la fonction f définie sur [0;+infini[ par f(x) = (25-x)(800+50x)"
A) Expliquer pourquoi Maëlle a raison, et préciser en particulier la signification de x.
B) Expliquer pourquoi cette fonction admet un maximun.
C) Résoudre l'équation f(x)=0
En déduire le nombre réel alfa en lequel f atteint son maximun, puis la valeur de ce maximun
Merci
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
1°) 24 €/place --> 85o spectateurs --> Recette = 24 * 85o = 2o4oo €uros
23 €/place --> 9oo spectateurs --> Recette = 23 * 9oo = 2o7oo €uros
2a) Recette = (25-x)*(8oo+5o x) avec x = baisse de prix par rapport à 25 €
2b) f(x) = - 5o x² + 45o x + 20ooo à étudier sur [ 0 ; 25 ]
cette équation est celle d' une Parabole "en ∩" qui admet donc
un Maximum dont l' abscisse Xm satisfait f ' (x) = - 1oo x + 45o = 0
donc Xm = 4,5
2c) résolvons f(x) = 0 qui donne x² - 9x - 4oo = 0
x² - 9x + 4,5² - 42o,25 = 0
( x - 4,5 )² - 2o,5² = 0
( x - 25 )( x + 16 ) = 0
les solutions sont donc x = -16 OU x = 25
conclusion : l' abscisse du Maximum est (25-16)/2 = 9/2 = 4,5
Conclusion finale :
la Recette Maxi sera obtenue pour une baisse de 4,5o € qui entraînera un nombre de spectateurs de 1o25 .
Recette = 2o,5o €/place * 1o25 spectateurs = 21o12,5o €uros !