Bonjour a tous et a toutes, j'ai un devoirs sur les suites mais j'ai du mal a le faire. Un pâtissier souhaite réduire sa production de cannelés de 320 unités t
Mathématiques
biostivia03
Question
Bonjour a tous et a toutes, j'ai un devoirs sur les suites mais j'ai du mal a le faire.
Un pâtissier souhaite réduire sa production de cannelés de 320 unités tous les mois et augmenter celle de macarons de 10% tous les mois. En avril 2014, il fabriquait 8000 cannelés et 5000 macarons. Pour tout entier naturel n, on note respectivement Cn et Mn la production de cannelés et de macarons au bout de n mois.
(En cas de besoin, les résultat seront arrondis à l'entier le plus proche.)
1)a Déterminer C0 et C1
b) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn
c) En déduire la nature de la suite (Cn). Préciser le terme initial et la raison.
d) Exprimer Cn en fonction de n.
e) Déterminer le sens de variation de la suite (Cn).
2)a) Déterminer M0 et M1.
b) Déterminer, en justifiant, la nature de la suite (Mn).Préciser le terme initial et la raison.
c) Déterminer le sens de variation de la suite (Mn).
3)a) A partir de quel mois le pâtissier cessera de produire des cannelés ?
b) Combien le pâtissier produira-t-il de macarons en mai 2016 ?
c) A partir de quand le pâtissier produira-t-il plus de macarons que de cannelés ?
Merci d'avoir lu et toute aide sera bien vue.
Un pâtissier souhaite réduire sa production de cannelés de 320 unités tous les mois et augmenter celle de macarons de 10% tous les mois. En avril 2014, il fabriquait 8000 cannelés et 5000 macarons. Pour tout entier naturel n, on note respectivement Cn et Mn la production de cannelés et de macarons au bout de n mois.
(En cas de besoin, les résultat seront arrondis à l'entier le plus proche.)
1)a Déterminer C0 et C1
b) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn
c) En déduire la nature de la suite (Cn). Préciser le terme initial et la raison.
d) Exprimer Cn en fonction de n.
e) Déterminer le sens de variation de la suite (Cn).
2)a) Déterminer M0 et M1.
b) Déterminer, en justifiant, la nature de la suite (Mn).Préciser le terme initial et la raison.
c) Déterminer le sens de variation de la suite (Mn).
3)a) A partir de quel mois le pâtissier cessera de produire des cannelés ?
b) Combien le pâtissier produira-t-il de macarons en mai 2016 ?
c) A partir de quand le pâtissier produira-t-il plus de macarons que de cannelés ?
Merci d'avoir lu et toute aide sera bien vue.
1 Réponse
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1. Réponse greencalogero
Bonjour,
1)a) C0=8000
C1=8000-320=7680
b) On sait que l'on réduit la production de 320 par mois donc:
C(n+1)=Cn-320
c) Comme on a:
C(n+1)=C(n)-320
C(n+1)-C(n)=-320=cst
On en déduit que la suite Cn est arithmétique de raison -320 et de premier terme c(0)=8000
d) Comme Cn est une suite arithmétique donc elle est de la forme:
U(n)=U(0)+nr
On en déduit alors:
C(n)=8000-320n
e) D'après 1)b), on a:
C(n+1)=C(n)-320
C(n+1)-C(n)=-320
C(n+1)-C(n)≤0
C(n)≥C(n+1)
La suite C(n) est donc décroissante
2)a) M(0)=5000
M(1)=M(0)+0.1×M(0)=5000+0.1×5000=5500
b) Comme on sait que l'on augmente la production de 10% par mois alors on peut écrire:
M(n+1)=M(n)+0.1×M(n)
M(n+1)=M(n)×(1+0.1)
M(n+1)=1.1×M(n)
M(n+1)/M(n)=1.1
On déduis alors de suite que la suite M(n) est une suite géométrique de raison 1.1 et de 1er terme 5000.
c) Comme M(n) est une suite géométrique de 1er terme 5000 et de raison 1.1 donc on peut écrire:
M(n)=M(0)q^n
M(n)=5000×1.1^n
On remarque que tous les termes de cette suite sont positifs donc on peut alors déduire que cette suite sera croissante.
3)a) Pour répondre, nous allons résoudre l'équation suivante:
0=8000-320n
8000=320n
n=8000/320
n=25
Il va donc arrêter sa production au bout de 25 mois soit en mai 2016.
b) On sait que le nombre de macarons est donné par:
M(n)=5000×1.1^n
M(25)=5000×1.1^25
M(25)=54174 macarons en mai 2016
c) Nous allons résoudre inéquation suivante:
5000×1.1^n≥8000-320n
impossible à résoudre ainsi, on va procéder par méthode numérique, on va alors trouver n=4 soit août 2014