Bonjour à tous ! Je suis en TS, et je voulais de l'aide pour ce petit exercice s'il vous plaît. MERCI D'AVANCE ;-)

Bonjour;

1) soit z = √3/2 - 3i/2

|z| = √(3/4 + 9/4) = √3

⇒ z = √3[1/2 - i√3/2]

⇒ arg (z) = -π/3

⇒ z = √3e^(-iπ/3)

⇒ z¹² = (√3)¹² x [e^(-iπ/3)¹²

⇔ z¹² = 729 x e^(-4iπ)

et e^(-4π) = cos(-4π) + isin(-4π) = 1

donc z¹² = 729

2)

a) e^(iπ/3) x e^(-iπ/4) = e^i(π/3 - π/4) = e^(iπ/12)

b) e^(iπ/12) = cos(π/12) + isin(π/12)

Soit z = e^(iπ/3) = 1/2 + i√3/2

et z' = e^(-iπ/4) = √2/2 - i√2/2

⇒ zz' = (1/2 + i√3/2)(√2/2 - i√2/2) = √2/4 - i√2/4 + i√3√2/4 + √3√2/4

= √2/4(1 + √3) - i√2/4(1 + √3)

= (1 + √3)√2/4 * (1 - i)

⇒ |zz'| = (1 + √3)√2/4 * √2 = (1 + √3)/2

⇒ zz' = (1 + √3)/2 * [√2/2 - i√2/2] = |zz'| * [(cos(-π/4) + isin(-π/4)] = |zz'|e^(-iπ/4)

Or zz' = cos(π/12) + isin(π12)

⇒ cos(π12) = |zz'| * cos(-π/4) = (1 + √3)/2 * √2/2 = √2(1 + √3)/4 = (1 + √3)/2√2