Bonjour, j'ai un dm à réaliser en Mathématiques mais je bloque à la question 2/b). Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? A la question 2/a) J'ai trouvé : (cos

Bonjour je vais reprendre la question complète,

2)a) Soit f la fonction sur R définie par:
f(x)=[(cos x)^(n+1)](sin x)
On a une fonction du type uv donc sa dérivée sera du type uv'+u'v:
u(x)=(cos x)^(n+1)⇒u'(x)(n+1)(-sin x)(cos x)^n
(car ((h(x))^n)'=(n)h'(x)(h(x))(n-1))
v(x)=sin x⇒v'(x)=cos x
f'(x)=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)
f'(x)=(cos x)^(n+1)×cos(x)-(n+1)(sin x)(cos x)^(n)×sin x
f'(x)=(cos x)^(n+2)-(n+1)(sin x)²(cos x)^n
f'(x)=(cos x)^n(cos²x-(n+1)sin²x) (on trouve pareil, j'ai simplement factorisé)

b) ∫(0≤x≤π/2)f'(x)dx
=∫(0≤x≤π/2)(cos)^n(cos²x-(n+1)sin² x) dx
=∫(0≤x≤π/2)(cos x)^(n+2)-(n+1)(sin x)²(cos x)^n dx
=∫(0≤x≤π/2)(cos x)^(n+2)dx-∫(0≤x≤π/2)(n+1)(sin x)²(cos x)^n dx
=I(n+2)-(n+1)∫(0≤x≤π/2)(1-cos² x)(cos(x))^n dx
=I(n+2)-(n+1)[∫(0≤x≤π/2)((cos x)^n)dx-∫(0≤x≤π/2)(cos x)^(n+2) dx
=I(n+2)-(n+1)(I(n)-I(n+2)
=I(n+2)-(n+1)I(n)+(n+1)I(n+2)
=(n+2)I(n+2)-(n+1)I(n)
Comme on a:
∫(0≤x≤π/2)f'(x)dx=f(π/2)-f(0) (définition de l'intégrale)
∫(0≤x≤π/2)f'(x)dx=((cos (π/2))^(n+1)sin (π/2)-((cos (0))^(n+1)sin(0))
Comme cos (π/2)=0 et sin (0)=0 donc:
∫(0≤x≤π/2)f'(x)dx=0-0
∫(0≤x≤π/2)f'(x)dx=0
On en déduis alors:
(n+2)I(n+2)-(n+1)I(n)=0
(n+2)I(n+2)=(n+1)I(n)
I(n+2)=[(n+1)/(n+2)]I(n) -----> CQFD