Bonjour, pouvez vous m'aider s'il vous plaît merci

Bonjour,

1) voir ci-joint

on place u0 = -4
on reporte u1 = f(u0) = -1
en utilisant la droite y = x, on reporte -1 et on obtient u2 = f(u1)
etc...

2) u0 = -4
u1 = -1
u2 = 0
u3 = 1/2
u4 = 4/5

3) vn = 1/(un - 2)

v0 = 1/(-4-2) = -1/6

v1 = 1/(-1-2) = -1/3

v2 = 1/(0 - 2) = -1/2

v3 = 1/(1/2 - 2) = -2/3

b) On peut conjecturer que (Vn) est une suite arithmétique de raison r = -1/6 et de premier terme v0 = -1/6


Vn+1 = 1/(Un+1 - 2) = 1/(f(Un) - 2)

f(Un) - 2 = (4Un + 4)/(-Un + 8) - 2

= (4Un + 4 + 2Un - 16)/(-Un + 8)

= (6Un - 12)/(-Un + 8)

= 6(Un - 2)/(-Un + 8)


⇒ Vn+1 = 1/(f(Un) - 2) = (-Un + 8)/6(Un - 2)

Or Vn = 1/(Un - 2) ⇒ Un = 1/Vn + 2 = (1 + 2Vn)/Vn

⇒ - Un + 8 = -(1 + 2Vn)/Vn + 8 = (-1 - 2Vn + 8Vn)/Vn = (6Vn - 1)/Vn

et 6(Un - 2) = 6Vn

Donc Vn+1 = [(6Vn - 1)/Vn]/6Vn = (6Vn - 1)/6 = Vn - 1/6

⇒ (Vn) est bien une suite arithmétique de raison r = -1/6 et de premier terme v0 = -1/6

Soit Vn = -1/6 - n/6 = -(n + 1)/6

et Un = [1 - 2(n + 1)/6]/[-(n + 1)/6] = (6 - 2n - 2)/-(n + 1) = (2n - 4)/(n + 1)