bonjour pourriez-vous m'aider sur cette exercice svp je doit le rendre rapidement. Merci d'avance. Dany :la somme d'un nombre réel strictement positif et de son

Bonjour,

Soit f la fonction définie sur ]0;+∞ [ par : [tex]f(x)=x+\frac{1}{x}=\frac{x^{2}+1}{x}[/tex]

On cherche à étudier f :
[tex]f'(x)=\frac{2x^{2}-x^{2}-1}{x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^{2}}[/tex]

f'(x) est négative sur ]0;1] donc f est décroissante sur cet intervalle
f'(x) est positive sur [1;+∞[ donc f est croissante sur cet intervalle

f admet donc un minimum en 1
f(1)=1+1/1=2 donc l'affirmation de Dany est vraie.

 n + (1/n) ≥ 2 donne ( en multipliant toute l' inéquation par n qui est positif ) :
n² + 1 ≥ 2n donc n² - 2n + 1 ≥ 0
d' où   (n-1)² ≥ 0 qui est bien vérifié !

conclusion : Dany a raison, Christine a tort !