Bonjour, On considère la suite (zn) définie pour tout entier narurel n par [tex]zn = \frac{1 + i}{ {(1 - i)}^{n} } [/tex] Pour quelles valeurs de n le nombre z

Bonjour,

[tex]z_{n}[/tex] est réel si : [tex]arg(z_{n})\equiv 0 \pmod \pi[/tex]

[tex]arg(\frac{1+i}{(1-i)^{n}})\equiv 0 \pmod \pi\\\\arg(1+i)-arg((1-i)^{n})\equiv 0 \pmod \pi\\\\\frac{\pi}{4}-n\times arg(1-i)\equiv 0 \pmod \pi\\\\\frac{\pi}{4}-n\times\frac{-\pi}{4}\equiv 0 \pmod \pi\\\\\frac{\pi}{4}+n\frac{π}{4}\equiv 0 \pmod \pi [/tex]


Ce qui est équivalent à : ( k entier relatif )

[tex]\frac{\pi}{4}+n\frac{\pi}{4}=k\pi\\\\n=-1+4k[/tex]

Zn est donc réel pour tout entier n = -1+4k avec k≥1 ( <=> n = 3+4k avec k entier naturel )