Bonjour j'aurais besoin d'aide pour le petit 3) et 4) de mon 1er exercice de mon DM de mathématique de 1er S sachant que pour le 3)b) il faut utiliser la formul

Bonjour,

3)a) On a démontré précédemment que f est décroissante sur [0;3]. Les coefficients directeurs des tangentes aux points d'abscisses x, pour tout x ∈ [0;3] sont donc négatifs. Donc pour tout x ∈ [0;3], f'(x) ≤ 0

On en déduit que plus le coefficient directeur est grand, plus sa valeur absolue est petite :

Pour tout a et b appartenant à [0;3], tels que 0 ≥ f'(a) > f'(b), |f'(a)| > |f'(b)|

b) f'(x) = [(2x - 6)(x² - 3x + 4,5) - (2x - 3)(x² - 6x + 9)]/(x² - 3x + 4,5)²

⇔ f'(x) = 3x(x - 3)/(x² - 3x + 4,5)²



⇒ f"(x) = [(6x - 9)(x² - 3x + 4,5)² - 3x(x - 3)[2(2x - 3)(x² - 3x + 4,5)]]/(.......)⁴

⇔ f"(x) = (x² - 3x + 4,5)[(6x - 9)(x² - 3x + 4,5) - 6x(x - 3)(2x - 3)]/(........)⁴

⇔ f"(x) = 3(2x - 3)[x² - 3x + 4,5 - 2x(x - 3)]/(......)³

⇔ f"(x) = 3(2x - 3)(-x² + 3x + 4,5)/(......)³

⇔ f"(x) = (x - 1,5)(-6x² + 18x + 27)/(......)³

Signe de (-6x² + 18x + 27) :

Δ = 18² - 4x(-6)x27 = 972

donc 2 racines : x₁ = (-18 - √972)/(-12) ≈ 4,09 ∉ [0;3]

et x₂ = (-18 + √972)/(-12) < 0 donc ∉ [0;3]

Donc sur [0;3], (-6x² + 18x + 27) ne change pas de signe. Pour x = 0, = 27, donc > 0

Même étude pour (x² - 3x + 4,5) : toujours positif, donc au cube, idem...

d) Donc : f"(x) a le signe de (x - 1,5) :

x         0                          1,5                       3
f"(x)                  -               0            +
f'(x)          décroissante      croissante

4) f' est donc minimale pour x₀ = 1,5

Tangente à C en x₀ : y = f'(1,5)(x - 1,5) + f(1,5)

f'(1,5) = -4/3

f(1,5) = 1

⇒ y = -4x/3 + 3

courbe ci-dessous