Bonjour/ Bonsoir j'ai un gros dm a rendre pour lundi. Merci d'avance. Voila l'énoncé: Le nombre d'or est le nombre [tex] \frac{1 + \sqrt{5} }{2} [/tex] On le d
Mathématiques
Juliette114
Question
Bonjour/ Bonsoir j'ai un gros dm a rendre pour lundi. Merci d'avance. Voila l'énoncé:
Le nombre d'or est le nombre
[tex] \frac{1 + \sqrt{5} }{2} [/tex]
On le désigne par la lettre grecque Φ
1. AJID est un carré de 10 cm de côté . M est le milieu de [DJ] et C est le point de la demi-droite [DJ] tel que MI = MC
B est le point tel que ABCD soit un rectangle.
Vérifier que le rapport entre la longueur et la largeur de ce rectangle est Φ.
Les proportions de ce rectangle d'or vois semblent-elles harmonieuse ?
2. Montrer que Φ est une solution de l'équation: x2 = x +1. Élever le nombre d'or au carré revient à lui ajouter 1
3. Montrez que prendre l'inverse du nombre d'or revient à lui retrancher 1.
4. Quelle valeur donne le nombre d'or ? Est-ce relatif ? Est-ce un nombre décimale ? Est-ce un nombre rationnel ?
5. On considère la suite de Fibonacci: les deux premiers termes valent 1 puis chaque termes suivant est la somme des deux précédents.
Les premiers termes sont donc: 1;1;2;3;5;8;13...
A partir de cette suite il est possible d'en définir une autre !
Chaque terme de cette nouvelle suite est le quotient de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, le terme supérieur étant le numérateur.
La suite prend donc les nouvelles valeurs suivantes :
1/1; 2/1; 3/2 ; 5/3 ; 8/5...
a) Donner la valeur arrondie au millième des douze premiers termes.
b) Vers quelle valeur (appelée limite) semble converger la suite ainsi défini ?
Le nombre d'or est le nombre
[tex] \frac{1 + \sqrt{5} }{2} [/tex]
On le désigne par la lettre grecque Φ
1. AJID est un carré de 10 cm de côté . M est le milieu de [DJ] et C est le point de la demi-droite [DJ] tel que MI = MC
B est le point tel que ABCD soit un rectangle.
Vérifier que le rapport entre la longueur et la largeur de ce rectangle est Φ.
Les proportions de ce rectangle d'or vois semblent-elles harmonieuse ?
2. Montrer que Φ est une solution de l'équation: x2 = x +1. Élever le nombre d'or au carré revient à lui ajouter 1
3. Montrez que prendre l'inverse du nombre d'or revient à lui retrancher 1.
4. Quelle valeur donne le nombre d'or ? Est-ce relatif ? Est-ce un nombre décimale ? Est-ce un nombre rationnel ?
5. On considère la suite de Fibonacci: les deux premiers termes valent 1 puis chaque termes suivant est la somme des deux précédents.
Les premiers termes sont donc: 1;1;2;3;5;8;13...
A partir de cette suite il est possible d'en définir une autre !
Chaque terme de cette nouvelle suite est le quotient de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, le terme supérieur étant le numérateur.
La suite prend donc les nouvelles valeurs suivantes :
1/1; 2/1; 3/2 ; 5/3 ; 8/5...
a) Donner la valeur arrondie au millième des douze premiers termes.
b) Vers quelle valeur (appelée limite) semble converger la suite ainsi défini ?
1 Réponse
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1. Réponse ProfdeMaths1
1) les portions du grand rectangle sont (5+5√5)/10=(1+√5)/2
les proportions du petit rectangle sont 10/(5√5-5)=(1+√5)/2
ainsi ces 2 rectangles sont "d'or"
2) Ф vérifie l'équation x/1=1/(x-1)
donc x²-x=1 donc x²=x+1 donc Ф²=Ф+1
3) Ф vérifie l'équation x/1=1/(x-1)
donc 1/x=(x-1)/1 donc 1/Ф=Ф-1
4) Ф=(1+√5)/2 est un irrationnel
5) (Fn)=(1;2;3/2;5/3;8/5;13/8;21/13;34/21;55/34;89/55;...) est la suite Fibonacci
cette suite (Fn) est croissante, minorée par 1, majorée par 2 et convergente vers le nombre d'or : Ф=(1+√5)/2