Bonjour je suis en première s et pour la rentrée je dois rendre un dm de maths mais je n'y arrive pas si quelqu'un pouvait m'aider, merci, voici l'exercice : On
Mathématiques
veroniquesolene
Question
Bonjour je suis en première s et pour la rentrée je dois rendre un dm de maths mais je n'y arrive pas si quelqu'un pouvait m'aider, merci, voici l'exercice :
On se propose de résoudre l'équation (E)
cos x + sin x =racine 2 pour x apartient à [0;/2]
1. (E) admet une "solution évidente". Laquelle?
2. Diviser chaque membre par racine de 2 puis transformer le premier membre de l'équation
3. Poser X = cos x et Y = sin x. En ajoutant une équation supplémentaire toujours vérifiée par X et Y, former un systeme de deux équations à deux inconnues que l'on résoudra
4. Pour tout réel a, sin(2a)cos(a)
En développant (cos x + sin x)² justifier que sur [0;/2], (E) équivaut à l'équation sin (2x)=1 et résoudre
On se propose de résoudre l'équation (E)
cos x + sin x =racine 2 pour x apartient à [0;/2]
1. (E) admet une "solution évidente". Laquelle?
2. Diviser chaque membre par racine de 2 puis transformer le premier membre de l'équation
3. Poser X = cos x et Y = sin x. En ajoutant une équation supplémentaire toujours vérifiée par X et Y, former un systeme de deux équations à deux inconnues que l'on résoudra
4. Pour tout réel a, sin(2a)cos(a)
En développant (cos x + sin x)² justifier que sur [0;/2], (E) équivaut à l'équation sin (2x)=1 et résoudre
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
1) Sur [0;π/2], (E) a pour solution évidente x = π/4 :
cos(π/4) + sin(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2
2) cos(x)/√2 + sin(x)/√2 = 1
3) X/√2 + Y/√2= 1
et X² + Y² = 1
⇒ Y/√2 = 1 - X/√2 ⇔ Y = √2 - X
et X² + (√2 - X)² = 1
⇔ X² + 2 - 2√2X + X² = 1
⇔ 2X² - 2√2X + 1 = 0
Δ = (-2√2)² - 4x2x1 = 8 - 8 = 0
⇒ X = (2√2)/4 = √2/2
soit Y = √2 - X = √2/2
on en déduit :
cos(x) = √2/2
sin(x) = √2/2
⇒ x = π/4 seule solution de (E) sur [0;π/2]
4) (cos(x) + sin(x))² = cos²(x) + 2sin(x)cos(x) + sin²(x) = 1 + 2sin(x)cos(x)
Or pour tout réel a, 2sin(a)cos(a) = sin(2a)
Donc (cos(x) + sin(x))² = 1 + sin(2x)
(E) : cos(x) + sin(x) = √2
⇔ sur [0;π/2] à (cos(x) + sin(x))² = (√2)² (car cos(x) ≥ 0 et sin(x) ≥ 0 sur [0;π/2])
⇔ 1 + sin(2x) = 2
⇔ sin(2x) = 1
Soit sin(2x) = sin(π/2)
⇒ 2x = π/2 (sur [0;π/2])
⇒ x = π/4