Bonjour à tous, j'ai besoin de votre aide pour 2 exercices de maths (suites arithmétiques et géométriques), j'essaye mais je n'y arrive pas du tout. Merci d'ava

Bonjour,

exo 1 :

1) U(1)=200*(1+2/100)+200=200*1.02=204+200=404

U(2)=404*1.02+200=...

U(3)=...tu fais seul.

2)

D'après ce qui a été fait en 1) on a donc :

U(n+1)=U(n)*1.02+200

3)a)

V(0)=U(0)+10000=10200

V(1)=U(1)+10000=....

V(2)=U(2)+10000=...

V(n+1)=U(n+1)+10000

Mais U(n+1)=U(n)*1.02+200

Donc :

V(n+1)=U(n)*1.02+200+10000=U(n)*1.02+10200--->on met 1.02 en facteur.

V(n+1)=1.02[U(n)+10000] mais U(n)+10000=V(n) donc

V(n+1)=1.02*V(n)

qui prouve que V(n) est une suite géométrique de raison q=1.02 et de 1er terme V(0)=10200.

c) On sait que pour une suite géométrique :

V(n)=V(0)*q^n , ce qui donne ici :

V(n)=10200*1.02^n

Mais U(n)=V(n)-10000

Donc : U(n)=10200*1.02^n-10000

4)

On résout :

10200*1.02^n -10000 > 5000

1.02^n > 15000/10200

1.02^n > 50/34 ( j'ai simplifié par 300)

Je ne sais pas si tu as vu la fonction ln(x) ? Sinon tu tâtonnes .

Avec la fct ln(x) , on fait :

n > ln(50/34) / ln(1.02)

On trouve n ≥ 20.

Il doit attendre 20 ans.

Exo 2 :

1)
a) r1=40000*(1-5/100)+200=40000*0.95+200=38200

r2=38200*0.95+200=...

b) On réduit la quantité de l'année précédente de 5% donc on la multiplie par 1-5/100 soit 0.95 , quantité à laquelle il faut ajouter 200t de nouveaux déchets .

Donc r(n+1)=0.95*r(n)+200

2) a)

s(n+1)=r(n+1)-4000 mais r(n+1)=0.95*r(n)+200 donc :

s(n+1)=0.95*r(n)+200-4000=0.95*r(n)-3800--->on met 0.95 en facteur.

s(n+1)=0.95[r(n)-40000]

s(n+1)=0.95*s(n)

qui prouve que s(n) est une suite géométrique de raison q=0.95 et de 1er terme s(0)=r(0)-4000=36000

b) On a donc : s(n)=s(0)*q^n

S(n)=36000*0.95^n

Mais r(n)=s(n)+4000

Dons : r(n)=36000*0.95^n+4000

c)

r(n+1)-r(n)=36000*0.95^(n+1)+4000-(36000*0.95^n+4000)

r(n+1)-r(n)=36000*0.95^(n+1)-36000*0.95^n

r(n+1)-r(n)=36000*0.95^n*0.95 -36000*0.95^n

r(n+1)-r(n)=36000*0.95^n*(0.95-1)-->0.95-1=-0.05

r(n+1)-r(n)=-36000*0.05*0.95^n

r(n+1)-r(n)= - 1800*0.95^n

Le facteur 0.95^n est > 0 donc le produit : -1800*0.95^n est < 0.

Donc :

r(n+1)-r(n) < 0

Donc :

r(n+1) < r(n).

Tu conclus.

d) Oui car la suite r(n) est ....

e) En 2015 : n=4.

Tu calcules r(4) avec la formule du 2)b).

3)

J'ai trouvé n ≥ 7 donc en 2018.