Hello ! Je suis en 1ère ES , et je galère pour la question d'un exo: Soit f la fonction définie par f(x)=x^3 1)Montrer que pour tout a nombre réel et pour tout
Mathématiques
nulenmaths92
Question
Hello ! Je suis en 1ère ES , et je galère pour la question d'un exo:
"Soit f la fonction définie par f(x)=x^3
1)Montrer que pour tout a nombre réel et pour tout h nombre non-nul :
f(a+h)= a³ + 3a³h + 3ah³ + h³
2) Calculer le taux d'accroissement de f entre a et a+h. En déduire la formule de la dérivée de la fonction cube"
J'ai répondu à la première question mais j'ai toujours du mal pour la deuxième , j'ai donc calculé :
a³+3a³h+3ah³+h³ -a³/h
ce qui donne :
3ah³+3a³h+h³/g
Et je suis bloquée là , je pense que l'on peut réduire encore mais je sais pas comment !
Merci d'avance !
"Soit f la fonction définie par f(x)=x^3
1)Montrer que pour tout a nombre réel et pour tout h nombre non-nul :
f(a+h)= a³ + 3a³h + 3ah³ + h³
2) Calculer le taux d'accroissement de f entre a et a+h. En déduire la formule de la dérivée de la fonction cube"
J'ai répondu à la première question mais j'ai toujours du mal pour la deuxième , j'ai donc calculé :
a³+3a³h+3ah³+h³ -a³/h
ce qui donne :
3ah³+3a³h+h³/g
Et je suis bloquée là , je pense que l'on peut réduire encore mais je sais pas comment !
Merci d'avance !
2 Réponse
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1. Réponse ElHe
Bonsoir :)
1) Je crois que tu avais déjà posé la question donc je vais pas revenir dessus :P
2) Le taux d'accroissement de f entre a et a+h est :
[tex]\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a} = \dfrac{a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - a^3}{h} = \dfrac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2[/tex]
La formule de la dérivée est justement la limite de ce taux d'accroissement, lorsque h tend vers 0 :
[tex]\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a} = \lim_{h \to 0} (3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2[/tex]
Ainsi la dérivée de la fonction cube est : [tex](x^3)' = 3x^2[/tex]. -
2. Réponse taalbabachir
Taux d'accroissement : f(a + h) - f(a)]/h avec h ≠ 0
f(x) = x³
f(a + h) = (a + h)³ = (a + h)²(a + h) = (a² + 2ah + h²)(a + h)
= a³ + 3 a²h + 3 ah² + h³
f(a + h) - f(a)]/h = a³ + 3 a²h + 3 ah² + h³ - a³)/h = h(3 a² + 3 ah + h²)/h
⇒ h² + 3 ah + 3 a²
En déduire la formule de la fonction cube
lim f(a + h) - f(a)]/h = lim (h² + 3 ah + 3 a²) = 3 a²
h→0 h→0
la dérivée de la fonction cube est : 3 x²