Bonjours à tous j'aurais besoin d'aide pour ce dm ma foi ...difficile On considère une boîte de conserve de forme cylindrique. Pour un volume V donné, on souhai
Mathématiques
delpelitto
Question
Bonjours à tous j'aurais besoin d'aide pour ce dm ma foi ...difficile
On considère une boîte de conserve de forme cylindrique.
Pour un volume V donné, on souhaite minimiser la quantité de métal utilisé pour confectionner cette boîte.
On note r le rayon de la base et h la hauteur.
(Je peux pas mettre l'image mais c'est juste un cylindre sans valeur.)
1) démontrer que la surface de métal utilisé est :
S (r)= 2pir(carré) +2V/r
2) Étudier la fonction S sur son ensemble de définition , que l'on précisera.
3) En déduire les dimensions de la boîte répondant aux problèmes.
4) application numérique : tester les dimensions d'une boîte cylindrique choisie dans le placard dont le volume est donné (en mL ou cm3)
On considère une boîte de conserve de forme cylindrique.
Pour un volume V donné, on souhaite minimiser la quantité de métal utilisé pour confectionner cette boîte.
On note r le rayon de la base et h la hauteur.
(Je peux pas mettre l'image mais c'est juste un cylindre sans valeur.)
1) démontrer que la surface de métal utilisé est :
S (r)= 2pir(carré) +2V/r
2) Étudier la fonction S sur son ensemble de définition , que l'on précisera.
3) En déduire les dimensions de la boîte répondant aux problèmes.
4) application numérique : tester les dimensions d'une boîte cylindrique choisie dans le placard dont le volume est donné (en mL ou cm3)
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
enfantin !
Volume Cylindre = π R² h --> V / R = π R h --> 2V / R = 2 π R h
Aire "fond + couvercle" = 2 π R²
Aire "étiquette de la boîte de conserve" = 2 π R h
donc : Aire TOTALE du métal nécessaire = 2 π R² + 2 π R h
= 2 π R ( R + h )
ou Aire TOTALE = 2 π R² + 2V/R
étude de S(R) = 2πR² + 2V/R :
ensemble de définition = IR+*
car le Rayon est positif et doit être non-nul !
dérivée S ' (R) = 4πR - 2V/R² nulle pour 2πR = V/R²
R³ = V / 2π
R = ∛(V / 2π)
conclusion : le minimum de métal sera obtenu pour R ≈ 0,541926 ∛V
application à la mini-canette de soda de 25 cL = 25o mL = 25o cm³ :
R ≈ 0,541926 ∛25o ≈ 3,414 centimètres !
Vérifions :
Aire TOTALE ≈ 2π 3,414² + 5oo/3,414 = 73,233 + 146,456 ≈ 219,7 cm²