bonjour je n'arrive pas à l'exo 1 pouvez vous m'aider ?

Bonjour,
Ex 1:

1) La fonction qui est représentée est une parabole qui est caractéristique d'une fonction polynôme du second degrés. Ces fonction sont définis par:
                           f(x)=ax²+bx+c où a,b et c ∈R
Pour trouver la valeur de ces 3 réels, il nous faut établir un système de 3 équations à 3 inconnues.
On remarque que la parabole passe par les points (-1;0) (2;0) et (1/2;9/2), le système est alors:
0=a(-1)²+b(-1)+c
0=a(2)²+b(2)+c
9/2=a(1/2)²+b(1/2)+c
donc on a:
a-b+c=0
4a+2b+c=0
a/4+b/2+c=9/2
On peut alors noter que c=b-a donc le système devient:
a-b+c=0
4a+2b+b-a=0
a/4+b/2+b-a=9/2
d'où:
c=b-a
a+b=0
(3/2)b-(3/4)a=9/2
Comme on a a+b=0 donc b=-a donc
c=b-a
b=-a
(3/2)(-a)-(3/4)a=9/2
d'où:
c=b-a
b=-a
(-6/4)a-(3/4)a=9/2
alors:
c=b-a
b=-a
(-9/4)a=9/2⇒a=(9/2)(-4/9)⇒a=-2, b=-a=2 et c=b-a=2-(-2)=4
On en déduit alors l'expression de f:
                                           f(x)=-2x²+2x+4

2) Pour étudier les variations de f sur R, nous allons étudier le signe de sa dérivée f'.
f'(x)=(-2x²+2x+4)'
f'(x)=-2×2x+2
f'(x)=-4x+2
f'(x)≤0 si -4x+2≤0 donc si 4x≥2 donc si x≥(1/2), on en déduit que la fonction f est décroissante sur [1/2;+∞[
f'(x)≥0 si -4x+2≥0 donc si 4x≤2 donc si x≤1/2, on en déduit que la fonction f est croissante sur ]-∞;1/2].
On remarque que la fonction f atteint un maximum sur R, le maximum est un point dont l'abscisse annule la dérivée f' de f donc:
f'(x)=0
-4x+2=0
4x=2
x=1/2
Il ne reste plus qu'à appliquer cette valeur à f:
f(1/2)=-2(1/2)²+2(1/2)+4
f(1/2)=-2/4+1+4
f(1/2)=5-1/2
f(1/2)=9/2
La fonction atteint donc son maximum au point de coordonnées (1/2;9/2)