On recherche un nombre de 4 chiffres, carré d’un entier et qui a 2 chiffres identiques à gauche et 2 chiffre identique à droite. Quel est ce nombre ?

Le nombre est de la forme "aabb" quand on l'écrit en décimal, il vaut donc 1100×a+11×b=11(100a+b)
1100×a+11×b=11(100a+b) avec a entre 1 et 9 et b entre 0 et 9.

Puisque c'est un carré, on veut que 100a+b
100a+b soit multiple de 11 ; et puisque 100a+b
100
a
+
b
est plus grand que 100, ce sera 11 fois un nombre de deux chiffres, qui doit lui-même être un carré.

On cherche donc un carré de deux chiffres qui, multiplié par 11, donne un nombre de trois chiffres dont le chiffre des dizaines est zéro ; ce nombre à deux chiffres a donc la somme de ses chiffres égale à 10 (à cause de la façon dont on calcule le produit par 11 d'un nombre à deux chiffres : somme des chiffres insérées au milieu).

Le seul carré à deux chiffres dont la somme des chiffres vaut 10 est 64. Le carré que l'on cherche est donc 64×112=7744
64
×
11
2
=
7744
.