Bonjour; Aidez-moi à faire cette exercice, la rédaction est très importante merci

f(x) = x³/6) - (x²/4) - x

1) en utilisant le taux d'accroissement, déterminé le nombre dérivé en 0 de la fonction f

Taux d'accroissement = f(a + h) - f(a)]/h

a = 0  ⇒ Taux d'accroissement = f(h) - f(0)/h

 f(h) = (h³/6) - (h²/4) - h

 f(0) = 0    

 ⇒  h(h²/6 - h/4 - 1)/h  = h²/6 - h/4 - 1

 Lim (h²/6 - h/4 - 1) = - 1  ⇒ f '(0) = - 1
 h→0

2) Déterminer l'équation réduite de la tangente en 2

 L'équation de la tangente en a est:

 y = f(a) + f '(a)(x - a)

 a = 2  ⇒ y = f(2) + f '(2)(x - 2)

 f '(x) = x²/2)  - (x/2) - 1 ⇒ f '(2) = 4/2) - (2/2) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0

 f(2) = 2³/6) - (2²)/4  - 2 = 4/3 - 3 = - 5/3

 ⇒ l'équation de la tangente est : y = - 5/3

 3) Etudier les variations de la fonction f

 f '(x) = x²/2  - x/2 - 1 ⇔ f ' (x) = 1/2(x² - x  - 2)

 f '(x) = 0 ⇔  x² - x  - 2 = 0

 Δ = 1 + 8 = 9 ⇒ √9 = 3

 x1 = 1 + 3)/2 = 2  ⇒ f(2) = - 5/3

 x2 = 1 - 3)/2 = - 1 ⇒ f(- 1) = - 1/6) - 1/4 + 1 = - 2 - 3 + 12)/12 = 7/12

 Signe de f(x)

 x   - ∞              - 1                 2                + ∞

 f(x)          +                 -                 + 

  Tableau de variation

 x     - ∞                 - 1                    2                 + ∞


f(x)  - ∞→→→→→ 7/12→→→→ - 5/3 →→→→ + ∞

           croissante         décroissante      croissante

 4) pour le graphique, il faut chercher où la courbe coupe l'axe des abscisses

 f(x) = 0 = x³/6) - (x²/4) - x = x(x²/6 - x/4 - 1) = 0 ⇒ x = 0

 x²/6 - x/4 - 1 = 0

 Δ = (1/4)² + 4/6 = 1/16) + 4/6  = 3/48 + 32/48 = 35/48  ≈ 0.73 ⇒√0.73 = 0.85

 x1 = 0.25 + 0.85)/1/3 = 3.3

x2 =  - 1.8

 donc la courbe de f coupe l'axe des abscisses en x = 0, x = - 1.8  et x = 3.3