Bonjour j'ai besoin d'aide pour un dm de math svp, l'exercice est le suivant: Le triangle égyptien est le triangle rectangle qui a pour mesures des côtes 3,4, e
Mathématiques
denisbauer41
Question
Bonjour j'ai besoin d'aide pour un dm de math svp, l'exercice est le suivant:
Le triangle égyptien est le triangle rectangle qui a pour mesures des côtes 3,4, et 5. On veut prouver la propriété suivante"il n'existe q'un seul triangle rectangle dont les mesures des côtes sont des entier consécutifs" Ôn appelle n la mesure du plus petit côté.
1) Sachant que les mesures des autres côtés sônt des entiers qui suivent n, exprimer ces mesures en fonction de n.
2)En utilisant le théorème de Pythagore, montrer que le problème peut se modéliser avec l'équation n2-2n-3=0 (n2 sa veut dire n au carré)
3)Developpper l'expression (n+1)(n-3)
4)En déduire le solutions de là équation n2-2n-3=0 et montrer que le problème à donc une unique solution qui correspond au triangle égyptien
MERCI D'AVENCE
Le triangle égyptien est le triangle rectangle qui a pour mesures des côtes 3,4, et 5. On veut prouver la propriété suivante"il n'existe q'un seul triangle rectangle dont les mesures des côtes sont des entier consécutifs" Ôn appelle n la mesure du plus petit côté.
1) Sachant que les mesures des autres côtés sônt des entiers qui suivent n, exprimer ces mesures en fonction de n.
2)En utilisant le théorème de Pythagore, montrer que le problème peut se modéliser avec l'équation n2-2n-3=0 (n2 sa veut dire n au carré)
3)Developpper l'expression (n+1)(n-3)
4)En déduire le solutions de là équation n2-2n-3=0 et montrer que le problème à donc une unique solution qui correspond au triangle égyptien
MERCI D'AVENCE
1 Réponse
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1. Réponse bribri18
Bonjour,
1) Soit n un entier, (n+1) l'entier qui suit n et (n+2) l'entier qui suit (n+1)
D'après le théorème de Pythagore :
(n+2)² = (n+1)² + n² (car n+2 est la plus grande longueur)
ATTENTION identités remarquables :
n² + 4n + 4 = n² + 2n + 1 + n²
On met tout du même côté :
0 = -n² - 4n - 4 + n² + 2n + 1 + n²
On simplifie :
0 = n² - 2n - 3
3) Il suffit de faire une double distributivité :
(n+1)(n-3) = n² - 3n + n - 3
On simplifie :
(n+1)(n-3) = n² - 2n -3
4) Comme (n+1)(n-3) = -(n+2)² + (n+1)² + n²
Alors on peut résoudre l'équation (n+1)(n-3) = 0, ce qui fait un produit nul
C'est-à-dire :
n+1 = 0 OU n-3 = 0
n = -1 n = 3
Or si n = -1, alors n+1 = 0 et n+2 = 2
D'après le théorème de Pythagore :
(n+2)² = 2² = 4
n² + (n+1)² = -1 + 0² = -1
Or 4≠-1 donc (d'après la contraposée de Pythagore) le triangle n'est pas rectangle.
Il reste encore une solution : n=3
Or (n+2)² = (3+2)² = 25
n² + (n+1)² = 3² + (3+1)² = 25
(n+2)² = n² + (n+1)² donc le triangle est rectangle
Donc n doit être égal à 3, n+1= 3+1 =4 et n+2= 3+2 =5
Le problème a donc bien une seule solution : n=3. Les 3 entiers qui se suivent et qui correspondent au triangle égyptien sont 3, 4, 5.